已知e、n、dp、c解密RSA密文

简要介绍

RSA是一种基于数论的公钥加密算法。假设我们知道公钥指数 $ e $、模数 $ n $、解密指数 $ dp $ 和密文 $ c $。本文将详细介绍如何利用这些已知参数进行解密。

公式推导

假设我们知道 $ dp = d \mod (p-1) $，我们可以推导出如下关系：

1. 由 $ dp = d \mod (p-1) $，我们有：

   $$ d = dp + k_1 \times (p-1) $$

2. 根据RSA的基本公式 $ d \times e = 1 + k_2 \times \phi(n) $，其中 $ \phi(n) = (p-1) \times (q-1) $，我们可以得到：

   $$ e \times (dp + k_1 \times (p-1)) = 1 + k_2 \times (p-1) \times (q-1) $$

3. 对两边取模 $ p-1 $ 简化：

   $$ e \times dp \equiv 1 \mod (p-1) $$

4. 进而我们可以得到：

   $$ e \times dp = 1 + k \times (p-1) $$

5. 由此可以推导出 $ p $ 与 $ e $、$ dp $ 的关系：

   $$ p = \frac{e \times dp - 1}{k} + 1 $$

解释 $ k $ 的范围

由于 $ k $ 必须是一个正整数，且公式中的 $ e \times dp - 1 $ 必须是 $ p-1 $ 的倍数，我们可以从 1 到 $ e-1 $ 遍历 $ k $ 的值来找到合适的 $ p $。这是因为：

• $ e $ 通常是一个固定的较小值（如 65537），遍历范围 $ 1 \leq k < e $ 可以保证我们能够找到一个合适的 $ p $，使得 $ p $ 是素数且 $ n \% p == 0 $。

解密过程

找到 $ p $ 后，可以计算 $ q $：

$$ q = \frac{n}{p} $$

然后计算 $ \phi(n) $ 和私钥指数 $ d $：

$$ \phi(n) = (p-1) \times (q-1) $$

$$ d = \text{inverse}(e, \phi(n)) $$

通过中国剩余定理（CRT）解密密文 $ c $：

$$ m_p = c^{dp} \mod p $$

$$ dq = d \mod (q-1) $$

$$ m_q = c^{dq} \mod q $$

$$ q_{\text{inv}} = \text{inverse}(q, p) $$

$$ h = (q_{\text{inv}} \times (m_p - m_q)) \mod p $$

$$ m = m_q + h \times q $$

Python实现

以下是基于上述推导的Python实现代码：

from Crypto.Util.number import inverse, isPrime, long_to_bytes

# 输入已知的参数
e = 65537  # 通常的公钥指数
n = ...  # 输入已知的模数
dp = ...  # 输入已知的dp
c = ...  # 输入密文

# 找到 p 和 q
for k in range(1, e):
    p = (e * dp - 1) // k + 1
    if (e * dp - 1) % k == 0 and isPrime(p) and n % p == 0:
        q = n // p
        if isPrime(q):
            break

# 计算 d 和解密参数
phi = (p - 1) * (q - 1)
d = inverse(e, phi)
dq = d % (q-1)

# 使用中国剩余定理解密
m_p = pow(c, dp, p)
m_q = pow(c, dq, q)
h = (inverse(q, p) * (m_p - m_q)) % p
m = (m_q + h * q)

# 转换并解码明文
plaintext = long_to_bytes(m).decode()

# 输出解密后的明文
print("解密后的明文:", plaintext)

总结

本文展示了如何在已知 $ e $、$ n $、$ dp $ 和 $ c $ 的情况下，通过公式推导和Python代码实现成功解密RSA密文。利用这些已知参数，我们能够有效地找到关键的素数因子 $ p $ 和 $ q $，并最终恢复明文。这一方法在处理大型模数和特定已知参数的RSA解密问题时具有重要的实际应用价值。